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浅谈变分不等式与凸优化

来源:第七纬度下载吧 发布时间:2019-02-19 11:30:14 点击数:

【编者按】

变分不等式(Variational Inequality,以下简称VI),其实是一种很有意思的建模思路。不过即便在我和做优化的同行的日常沟通傍边,一般论题也很少能沟通到VI上。本答复,我将给一个关于VI直观和大约的介绍,并指出它的一些潜在价值。

的正式数学方式界说为:任给界说在巴纳赫空间 的一个子集上的泛函 ,其间的对偶空间。等价于求满意下列条件的点 ,使得 (留意内是必定存在的)

为了直观起见,咱们只考虑是n维实数域上恣意的闭凸集(closed convex set)。这当然仅仅VI能够model的很小一部分状况,不过在对本篇答复旨在给的直观介绍现已足够了。

在研讨VI这个范畴方面,我国的何炳生教师应该是国内抢先,他也是专心了一辈子这个方向的研讨。比方之前他和斯坦福的叶荫宇教师在证明ADMM算法收敛性的作业里就会集运用了VI相关的技巧。本文也是首要参看了何教师主页上关于VI的讲义,假如咱们对VI想有更深化的了解(比方详细不同算法的规划和剖析理论),强烈建议阅览何教师网站上愈加深化的讲义内容。

首要咱们指出一般的润滑凸优化都能够当作一个单调的VI问题

咱们考虑凸优化问题:        

,留意是界说在上的可微凸函数。运用凸优化的最优条件,咱们知道该问题的最优解等价于在该点上的一切可行方向都不是梯度下降方向。证明也很简略,必要性方向用反证法:给定一个 ,假如存在这样一个方向,那么必定就存在使得,这和的界说对立。充沛性方向运用凸函数的部分极小=大局极小的性质也是明显的。

但是上述条件就等价于的界说!

咱们还能够进一步指出,当咱们想显式求解一个凸优化问题的时分(比方咱们将X 界说为,这个时分咱们等价的方式为将VI mapping拓宽为 。请读者自行操练,应该根据前一部分的根底是很简略推导的(提示:拉格朗日对偶;KKT条件)。

别的,咱们指出可微并不是必要的,否则就有违我一开始所说的VI十分general了。这个时分,咱们的凸优化问题依然等价于求对应拉格朗日函数的鞍点,即界说 ,那么鞍点等价于满意条件

这个时分的等价VI方式依然留给咱们做操练。值得留意的是,这个时分的VI会长的和之前咱们看到的方式略有差异,这也叫做混合变分不等式,但许多时分也就不加区分总称VI了。(提示:能够将中分离出来)都不行微的状况当然也是能够的,不过这个时分就要运用次梯度(subgradient)来界说了。

VI还和一类更general的非线性互补问题等价。详细来说,非线性互补问题描绘了一类调集,这类问题在资源供应,交通引导中都有广泛的运用。

最终,我想着重提一下VI在描写multi-agent system,即具有可分离结构的优化问题中的运用。不失一般性,咱们就考虑2-block的景象,考虑如下优化问题 ,即咱们的方针函数关于变量可分离,咱们的线性束缚相同关于变量可分离。简略起见,假定 可微,咱们关于这个问题的等价中的F取为 .

这个时分,尽管本文我并没有讲VI的算法应该怎么规划,但咱们应该现已能感觉到VI的mapping现已抓到了这个问题的可分离结构,即咱们完全能够分布式地更的值而不需求知道另一个变量精确的值(当然,对偶变量的更新需求一切变量的值,能够把对偶变量看作coordinator)。那么,假定原问题里咱们能够把原空间分解成很多小的子问题(比方咱们有n个可分离的方针函数和一个n-block可分离的束缚矩阵),咱们能够幻想这个VI具有一个能够高度分布式的算法。这也是n-block ADMM算法(尽管一般来说n>=3理论上的收敛性就不太好确保了)在实践中能够运用的思路。

最终的最终,假如咱们考虑更一般的景象,束缚具有可分离结构但不必定是线性的,这类multi-agent optimization问题实践上代表了核算一类generalized Nash equilibrium:直观来说,也就是每个agent都有自己private的方针函数和束缚,且在决议计划时也只能控制自己的那一部分变量,VI相同能给出核算这类equilibrium的一个formulation。详细概况请有爱好的同学能够参看参看文献[4]。

参看文献

[1] http://maths.nju.edu.cn/~hebma/

[2] Chen, Caihua, et al. "The direct extension of ADMM for multi-block convex minimization problems is not necessarily convergent." Mathematical Programming 155.1-2 (2016): 57-79.

[3] He, Bingsheng, Min Tao, and Xiaoming Yuan. "Convergence rate analysis for the alternating direction method of multipliers with a substitution procedure for separable convex programming." Mathematics of Operations Research 42.3 (2017): 662-691.

[4] Facchinei, Francisco, and Christian Kanzow. "Generalized Nash equilibrium problems." 4OR 5.3 (2007): 173-210.

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